Definir las clases de equivalencia

Task Discussion

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  Víctor Mejía   May 21, 2012, 5:49 a.m.

  En teoría de conjuntos, la noción de relación de equivalencia sobre un conjunto, permite establecer una relación entre los elementos del conjunto que comparten cierta característica o propiedad. Esto permite reagrupar dichos elementos por clase de equivalencia, es decir, «paquetes» de elementos similares. A su vez, esto posibilita la construcción de nuevos conjuntos «asimilando» todos los elementos de una misma clase a un solo y único elemento, lo que define la noción de conjunto cociente.

  

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  Víctor Mejía   May 9, 2012, 3:32 p.m.

   

  Definición

  Sea  un conjunto dado no vacío y  una relación binaria definida sobre . Se dice que  es una relación de equivalencia si cumple las siguientes propiedades:

  • Reflexividad: Todo elemento de  está relacionado consigo mismo. Es decir,

  .

  • Simetría: Si un elemento de  está relacionado con otro, entonces ese otro elemento también se relaciona con el primero. Es decir,

  

  • Transitividad: Si un elemento de  está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir,

  

  • Notación: La relación de equivalencia entre dos elementos x e y se denota x = y (mod R) que se lee « x equivalente a y módulo R.»

  Una relación de equivalencia  sobre un conjunto  puede denotarse con el par ordenado .